電通総研テクノロジーでサポートしているCAEの解析技術である固有値解析のご紹介します。
一般的に振動解析には、固有振動数を求める固有値解析と入力に対して応答を求める応答解析を示します。
固有値解析とは、共振現象に着目し、構造物のモーダルパラメータを計算します。具体的には、共振周波数（振動しやすい周波数）とその周波数におけるモードシェイプ（振動パターン）、さらに応答解析を行う際に使用するモーダル質量、モーダル剛性などのモーダルパラメータを求めます。共振周波数のモードシェイプから解析対象物がどの周波数で振動しやすいか、どのような変形が起きやすいかを確認できます。構造物は共振すると、壊れやすいので、解析対象物の固有値を周辺の構造物の固有値とずらすために剛性や質量を検討するのに固有値解析は使用されます。
解析対象物が共振する時の固有振動数とモードシェープを確認します。変位量は各部の相対値で共振した時の変形パターンを予測するものです。実際の変形を予測するものではありません。また、固有値解析の応力値は変位量から計算される値なので、強度評価には使用できません。
固有振動数とモードシェープを確認します。
解析対象物が共振する時の固有振動数とモードシェープを確認します。
変位量は各部の相対値で共振した時の変形パターンを予測するものです。実際の変形を予測するものではありません。また、固有値解析の応力値は変位量から計算される値なので、強度評価には使用できません。
単振動の運動方程式 \( m\ddot{x}(t) + kx(t) = f(t) \)
f=0とすると、\( m\ddot{x}(t) + kx(t) = 0 \)
また、\( x = Ae^{j\omega t} \) より、
$$\ddot{x} = \frac{d^{2}}{dt^{2}}Ae^{j\omega t} = -\omega^{2}Ae^{j\omega t} = -\omega^{2}x$$これを運動方程式に代入すると、
$$-\omega^{2}mx + kx = \left(-\omega^{2}m + k\right)x = 0$$ここで、\( \omega^{2} = \lambda \) と、おくと、\( -\lambda m + k = 0 \) より、
$$\lambda = \frac{k}{m} \qquad\qquad \omega = 2\pi f = \sqrt{k/m}$$λ：固有値、ω：固有角振動数、f：共振周波数