振動解析の数値計算

第三回：１自由度減衰系の自由振動

今回は前回無視した減衰を考慮した自由振動について考えていきたいと思います。減衰は振動を抑制する働きを持ちますが、これは系に存在するエネルギーを散逸させていることになります。物理モデルでは下図のようにダンパーで表現され、減衰係数と速度を乗じた力として表現されます。イメージとしては物体の周囲が粘度の高い流体で満たされている状態であり、物体の速度に比例して抵抗力が大きくなることが想像できるかと思います。

それでは、減衰を考慮した自由振動の解を求めていきましょう。減衰を考慮した1自由度自由振動の運動方程式は下記式①になります。

上記は、ある関数とその関数を1回微分および2回微分したものに係数（m,c,k）を乗じた和が0になる必要があるため、これを満足する関数は下記のような複素指数関数に限定されます。

式②を微分すると

式②と式③を式①に代入すると

この式が任意の時刻で常に運動を表現するためにはXe^iωt≠0であり、両辺をXe^iωtで割ると、

式④はiωに関する2次方程式となるので、解の公式より以下の解が得られます。

ここで二次方程式の解の場合分け、すなわち平方根の中身が正、０（重解），負について考えてみると、その条件分岐はc²と4mkの大小関係で決まるため、

さらにこの臨界減衰係数c_Cと減衰係数cの比をとって、

を新たに定義します。（このζを減衰比と呼びます）これら式⑦、⑧を用いて式⑤を変形すると、

となります。またiωは±で2通りあるため、これらをiω₁,iω₂として第二回と同様に線形結合で一般解を表すと、

となります。

■ ζ＜1 (c＜c_c) の場合
式⑨の平方根の中身は負となるため、虚数を取り出し平方根の中身を正にすると

ここで、

と定義し、式⑨に代入すると、

式⑩にこの一般解に戻すと

式⑨は、±どちらの場合も負の実数になります。式⑩に代入すると

よって、x(t)は常に指数が負である実数の指数関数であり、時間とともに振幅が減少し、０に漸近していく無周期運動となります。またこの状態を過減衰といいます。

今回は減衰のある１自由度系の自由振動について説明いたしました。次回は同じく減衰のある１自由度系における加振力が作用する際の強制振動について説明する予定です。