１自由度系の自由振動

第二回：１自由度系の自由振動

今回は振動現象を考えるうえで一番単純化された１自由度バネマスモデルの自由振動について考えていきたいと思います。自由振動とは、最初に与えられる条件を除いて、外部からの作用を受けない状態で起きる振動のことで、例えば片側が固定されたバネの先端にある物体を引っ張り、そっと手を離した時の物体の動きを求めるイメージです。

この現象を数式で表現しますと、下記ニュートンの運動方程式①において、外力と減衰項を無視した式②になります。

ここで、まずはこの式について考察してみましょう。
この式は時間tを独立変数とする微分方程式で、解としてはこの式を満足する関数式を導くことになります。そして、ある関数xとxを2回微分したものに係数（m,k）を乗じた和が０になると言っています。また、係数mとkは物理量で正値ですので、ある関数は2回微分すると元の関数の負値になる必要があります。
これらの条件を満足する解が、三角関数または複素指数関数に限定されることがわかるでしょうか？

例えば、x⁵のような関数の場合、1回微分すると5x⁴、2回微分すると20x³となり元の関数と次数が異なり、和をとっても0になることはありません。
一方、三角関数や複素指数関数は下記のように微分を繰り返すと同じ関数に戻る特性があります。

このように、2回微分して元の関数の負値になる関数は三角関数と複素指数関数以外になく、上記微分方程式の解は必然的に三角関数や複素指数関数以外に考えられないことがわかります。
なお、三角関数と複素指数関数は表現が異なるだけで同じ関数です。これは「オイラーの公式」で証明されていますので、機会があれば本コラムでも紹介したいと思います。

三角関数と複素指数関数どちらを使っても同じ解が得られますが、今回は三角関数を使って上記微分方程式を解く流れを解説します。

まず、解となる関数式について三角関数を用いて式③のように仮定します。

式③を微分すると速度と加速度は下式のようになります。

2つの定数C₁とC₂は時間t = 0における変位と速度を初期条件として求めます。

式⑦を式③に代入して

これも解なのですが、式を直感的にわかりやすくするため、下記を満たすx₀とφを導入

式⑨を式⑧に代入すると

三角関数の加法定理( cos(θ₁+θ₂) =cosθ₁cosθ₂ - sinθ₁sinθ₂ )を式⑩に適用すると

これが1自由度バネマスモデルの自由振動（式②）の解となります。
ここで、x₀を振幅、ωt+φを位相といいます。
また、ωは、式⑤を式②に代入してバネマスモデルの質量と剛性から求まります。

いかがでしょうか？
今回は1自由度バネマスモデルの自由振動について説明いたしました。次回は今回無視した減衰や外力を考慮した振動現象について説明する予定です。