有限要素法の数値計算
変位―ひずみマトリックス［B］
変位-ひずみマトリックスとは、要素の形状関数［N］に基づいて変位とひずみの関係を表すマトリックスです。一般的には、［B］マトリックスとも呼ばれます。今回はその導出方法について解説します。
VOL.04
今回は「変位-ひずみマトリックス」について解説します。
変位-ひずみマトリックスとは、要素の形状関数［N］に基づいて変位とひずみの関係を表すマトリックスです。一般的には、［B］マトリックスとも呼ばれます。（ひずみー変位マトリックスと入れ替えて言うこともあります。）
ひずみは変位の座標に関する１階微分になります。変数は、要素内部の座標 \( (x,y) \) であり、任意位置の変位量 \( u \) と \( v \) に応じたひずみ \( \{\varepsilon\} \) の三成分は以下のような偏微分であらわされます。
\[
\varepsilon_x = \frac{\partial u}{\partial x}, \qquad
\varepsilon_y = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad
\gamma_{xy} = \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x}
\qquad \cdots ①
\]
\( \varepsilon_x \) と \( \varepsilon_y \) は、変位量を距離で微分したものです。\( \gamma_{xy} \) は、以下のように計算されます。
図1 せん断応力 τxy による要素の変形と微小回転角（θ₁, θ₂）
\[
\theta_1 \approx \tan\theta_1 = \frac{\partial u}{\partial y} \quad \cdots ②
\qquad
\theta_2 \approx \tan\theta_2 = \frac{\partial v}{\partial x} \quad \cdots ③
\]
式②と③から、\( \gamma_{xy} \) は、以下のように式④になります。
図2 せん断ひずみ γxy＝θ₁＋θ₂ の関係
\[
\gamma_{xy} = \theta_1 + \theta_2 = \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x}
\qquad \cdots ④
\]
文頭に書いたように、変位-ひずみマトリックス \( [B] \) とは形状関数 \( [N] \) を距離で微分したものになります。
\[
\varepsilon =
\begin{Bmatrix} \varepsilon_x \\ \varepsilon_y \\ \gamma_{xy} \end{Bmatrix}
=
\begin{Bmatrix}
\dfrac{\partial u}{\partial x} \\[6pt]
\dfrac{\partial v}{\partial y} \\[6pt]
\dfrac{\partial u}{\partial y} + \dfrac{\partial v}{\partial x}
\end{Bmatrix}
\qquad \cdots ①'
\]
式①’を元に前回のコラムで紹介した以下の形状関数の式⑤を距離で微分すると
\[
\begin{Bmatrix} u \\ v \end{Bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
N_1 & 0 & N_2 & 0 & N_3 & 0 & N_4 & 0 \\
0 & N_1 & 0 & N_2 & 0 & N_3 & 0 & N_4
\end{bmatrix}
\begin{Bmatrix} u_1 \\ v_1 \\ u_2 \\ v_2 \\ u_3 \\ v_3 \\ u_4 \\ v_4 \end{Bmatrix}
\qquad \cdots ⑤
\]
\[
\begin{Bmatrix} \varepsilon_x \\ \varepsilon_y \\ \gamma_{xy} \end{Bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\dfrac{\partial N_1}{\partial x} & 0 & \dfrac{\partial N_2}{\partial x} & 0 & \dfrac{\partial N_3}{\partial x} & 0 & \dfrac{\partial N_4}{\partial x} & 0 \\[6pt]
0 & \dfrac{\partial N_1}{\partial y} & 0 & \dfrac{\partial N_2}{\partial y} & 0 & \dfrac{\partial N_3}{\partial y} & 0 & \dfrac{\partial N_4}{\partial y} \\[6pt]
\dfrac{\partial N_1}{\partial y} & \dfrac{\partial N_1}{\partial x} & \dfrac{\partial N_2}{\partial y} & \dfrac{\partial N_2}{\partial x} & \dfrac{\partial N_3}{\partial y} & \dfrac{\partial N_3}{\partial x} & \dfrac{\partial N_4}{\partial y} & \dfrac{\partial N_4}{\partial x}
\end{bmatrix}
\begin{Bmatrix} u_1 \\ v_1 \\ u_2 \\ v_2 \\ u_3 \\ v_3 \\ u_4 \\ v_4 \end{Bmatrix}
\qquad \cdots ⑥
\]
ここにある \( N_1\ N_2\ N_3\ N_4 \) は \( x \) あるいは \( y \) の一次関数なので、マトリックスの成分はすべて定数になります。以下のように、これらのマトリックスを［B］とすると
\[
[B] =
\begin{bmatrix}
\dfrac{\partial N_1}{\partial x} & 0 & \dfrac{\partial N_2}{\partial x} & 0 & \dfrac{\partial N_3}{\partial x} & 0 & \dfrac{\partial N_4}{\partial x} & 0 \\[6pt]
0 & \dfrac{\partial N_1}{\partial y} & 0 & \dfrac{\partial N_2}{\partial y} & 0 & \dfrac{\partial N_3}{\partial y} & 0 & \dfrac{\partial N_4}{\partial y} \\[6pt]
\dfrac{\partial N_1}{\partial y} & \dfrac{\partial N_1}{\partial x} & \dfrac{\partial N_2}{\partial y} & \dfrac{\partial N_2}{\partial x} & \dfrac{\partial N_3}{\partial y} & \dfrac{\partial N_3}{\partial x} & \dfrac{\partial N_4}{\partial y} & \dfrac{\partial N_4}{\partial x}
\end{bmatrix}
\qquad \cdots ⑦
\]
この［B］マトリックスの形状関数Nはそのまま解くことができないため、ヤコビ関数使って解きます。
最終的に、任意位置のひずみ \( \{\varepsilon\} \) は節点の変位量 \( \{u_e\} \) から以下の式で求められることになります。
\[ \{\varepsilon\} = [B]\{u_e\} \qquad \cdots ⑧ \]
まとめ
今回は上記のように、変位-ひずみマトリックス ［B］ について紹介しました。次回のコラムは、「応力-ひずみマトリックス ［D］」について紹介します。
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