今回は「応力-ひずみマトリックス」について解説します。
応力-ひずみマトリックスとは、材料の力学的特性を表すマトリックスです。材料に外力が加わると、その材料は変形し、内部に応力が発生します。この関係を定量的に表現するのが応力-ひずみマトリックスです。一般的には、［D］マトリックスとも呼ばれています。（ひずみー応力マトリックスと入れ替えて言うこともあります。）応力-ひずみマトリックスを理解する前に、ヤング率Ｅとポアソン比νの定義から、一般化したフックの法則を紹介します。
フックの法則は次式で表されます。
\[
\varepsilon_x = \frac{1}{E}\left(\sigma_x - v\,\sigma_y\right) \qquad \cdots ①
\]
\[
\varepsilon_y = \frac{1}{E}\left(\sigma_y - v\,\sigma_x\right) \qquad \cdots ②
\]
\[
\gamma_{xy} = \frac{1}{G}\,\tau_{xy} \qquad \cdots ③
\]
前回（第4回：変位-ひずみマトリックスのコラム参照）求めたひずみから応力を求めるために、①、②、③式を \( \sigma_x \)、\( \sigma_y \)、\( \tau_{xy} \) について解くと次式となります。
\[
\sigma_x = \frac{E}{1-v^2}\left(\varepsilon_x + v\,\varepsilon_y\right) \qquad \cdots ④
\]
\[
\sigma_y = \frac{E}{1-v^2}\left(v\,\varepsilon_x + \varepsilon_y\right) \qquad \cdots ⑤
\]
\[
\tau_{xy} = G\,\gamma_{xy} = \frac{E}{2(1+v)}\,\gamma_{xy} = \frac{E}{1-v^2}\times\frac{1-v}{2}\,\gamma_{xy} \qquad \cdots ⑥
\]
※ \( E \) : ヤング率 、 \( \nu \) : ポアソン比
④、⑤、⑥式をマトリックス表示にすると次式⑦となります。
\[
\begin{Bmatrix} \sigma_x \\ \sigma_y \\ \tau_{xy} \end{Bmatrix}
=
\bbox[6px, border: 2px solid #e53935]{
\frac{E}{1-v^2}
\begin{bmatrix}
1 & v & 0 \\
v & 1 & 0 \\
0 & 0 & \dfrac{1-v}{2}
\end{bmatrix}
}
\begin{Bmatrix} \varepsilon_x \\ \varepsilon_y \\ \gamma_{xy} \end{Bmatrix}
\qquad \cdots ⑦
\]
この式⑦の枠内のマトリックスを「応力ーひずみマトリックス」と呼び、［D］で表します。
\[
[D] =
\frac{E}{1-v^2}
\begin{bmatrix}
1 & v & 0 \\
v & 1 & 0 \\
0 & 0 & \dfrac{1-v}{2}
\end{bmatrix}
\qquad \cdots ⑧
\]
最終的に、任意位置の応力 \( \{\sigma\} \) は任意位置のひずみ \( \{\varepsilon\} \) から以下の式で求められることになります。
\[ \{\sigma\} = [D]\{\varepsilon\} \qquad \cdots ⑨ \]
まとめ
今回は上記のように“応力-ひずみマトリックス［D］”について紹介しました。次回は、第4回で解説した“変位-ひずみマトリックス［B］”、今回解説した“応力-ひずみマトリックス［D］”を元に、“要素の剛性マトリックス［K］”について解説します。次回のコラムが、この「有限要素解析の数値計算」の最終回となります。